Un lecteur nous avait demandé il y a fort longtemps à quoi il pouvait bien servir de se marier, ce à quoi nous avions promis de répondre aussi rapidement que possible. Plusieurs mois après, voici avec toutes nos excuses un début d’explication en termes d’incitation à la production de biens collectifs.

L’idée principale de ce billet est que la qualité de la vie en couple dépend des efforts faits par les deux membres, efforts en partie substituables et dont le coût est privé. Afin d’éviter tout sexisme d’une part et d’autoriser notre couple d’homines/feminae oeconomici/ae à être homo aussi bien qu’hétérosexuel, nous dénommerons les membres du couple considéré par les très politiquement corrects chiffres 1 et 2.

Nous sommes en présence d’un problème de bien collectif en ce que et 1 et 2 aimeraient bien par exemple que la vaisselle soit faite ou l’appartement rangé, mais aimeraient encore mieux que leur conjoint s’en charge. Plus prosaïquement si on note x₁ et x₂ les contributions respectives de 1 et 2 au bien-être commun, on suppose que chaque membre retire une utilité f(x₁,x₂) de la vie en couple, croissante en ses deux arguments : 1 est plus heureux si le ménage est fait, qu’il le soit par lui ou par 2. En revanche 1 n’aime pas faire le ménage, ainsi contribuer x₁ lui coûte par hypothèse c x₁, où c est le coût unitaire de fournir de l’effort.

De plus, un phénomène bien connu veut que si 2 commence à se charger de la cuisine, l’habitude et la spécialisation l’entraîneront à continuer à la faire pendant toute la durée de vie en couple. Or celle-ci peut subir maints aléas, ce qui donne lieu à un problème pas très éloigné de celui du hold-up. Considérons ainsi l’histoire déchirante (mais qui se finit bien) suivante :

2 choisit aujourd’hui de préparer de délicieux petits plats pour 1 et d’améliorer ainsi leur bien-être commun au prix d’un coût privé c x₂. Le temps passe et les premières illusions s’envolent. 1, de plus en plus froid(e) et distant(e), non seulement contribue peu lui-même au bien-être du ménage, mais finit carrément par avouer à 2 qu’il a rencontré quelqu’un d’autre et qu’il s’en va. Pauvre petit(e) 2 !

De désespoir, 2 s’inscrit dans un cours de microéconomie et comprend deux choses. D’abord que le problème de bien collectif aurait dû l’inciter à ne pas en faire trop puisque ce faisant il/elle incitait 1 à faire moins d’efforts lui-même. Ensuite qu’il est rationnel de la part de l’égoïste 1 de partir dès lors qu’il/elle croit pouvoir être plus heureux/se ailleurs, ce qui devrait inciter 2 à faire encore moins d’efforts : à quoi bon investir dans une relation si celle-ci peut facilement prendre fin ? Aucune, si ce n’est d’inciter l’autre à rester en le convaincant qu’il ne trouvera pas mieux ailleurs (ce qui est aussi une stratégie valable dès lors que l’on a un coût c très faible).

Détaillons ce que 2 a appris pendant son cours de théorie des jeux et qu’il/elle met en pratique avec son nouvel amant/sa nouvelle amante, le beau/la belle 1b.

2, qui a le cœur sensible, ne saurait vivre sans 1b et n’aurait en son absence qu’une utilité nulle. 1, beau/belle mais froid/froide et insensible/insensible, aurait en quittant 2 l’année prochaine une utilité aléatoire K₁, par exemple distribuée uniformément sur l’intervalle [0,1]. 2 ne se fait plus d’illusion et sait très bien que 1b partira si par malheur K₁ dépasse f(x₁,x2), l’utilité que 1b retire de sa relation avec 2. Ainsi si 1b contribue à hauteur de x₁ au bien-être commun et 2 à hauteur de x₂, de rapides calculs montrent qu’en moyenne les utilités de 1 et 2, notées U₁ et U₂, seront

U₁ (x₁,x₂) = 0.5 f(x₁,x₂)² – c x₁
U₂ (x₁,x₂) = f(x₁,x2)² – c x₂

Après leur installation 1b et 2 se guettent, regardent ce que fait l’autre et décident en fonction de contribuer plus ou moins, jusqu’à ce qu’une certaine routine s’installe qu’aucun(e) ne juge bon de changer. Ils se coordonnent ainsi miraculeusement sur un équilibre de Nash qui vérifie

f’₁(x₁,x₂) f(x₁,x₂) = c
2 f’₂(x₁,x₂) f(x₁,x₂) = c

Sous certaines conditions sur les paramètres il s’agit bien d’un équilibre, où l’on note si f est symétrique en ses deux arguments que 2 contribue davantage au bien-être que 1b, et est moins heureux/heureuse. En effet leurs incitations diffèrent : en faisant davantage d’efforts, tous deux subissent un coût c, augmentent leur bien-être multiplié par la probabilité que 1b ne parte pas (puisqu’il est plus heureux en ménage), ce qui donne le terme 2 f’ f. Mais lorsqu’il augmente son effort 1b diminue lui-même la probabilité qu’il parte et se prive ainsi de son « option de sortie », ce qui diminue son bien-être de f’ f en moyenne.

Cette situation est totalement sous-optimale, les deux conjoints contribuant trop peu au bien-être commun. En fait chacun serait prêt à faire davantage d’efforts si l’autre s’engageait à faire de même, mais 1b faisant manifestement (et common-knowledgement) peu de cas de la parole donnée, un tel accord est impossible.

1b et 2 se rendent compte du problème, et décident d’aller voir un conseiller conjugal. Curieusement, il s’avère que celui-ci a également fait des études de microéconomie (le cas est assez rare) et a pour slogan « des solutions Pareto-optimales à tous vos problèmes de couple ». Il leur explique donc que si d’un côté il est souhaitable que les deux conjoints investissent dans leur relation commune, il n’est pas non plus souhaitable que 1b se voit couper toute option de sortie. Si en quittant 2 il/elle est davantage heureux tout seul que ne l’était le couple avant, il n’est pas déraisonnable de le laisser faire. Le conseiller entreprend de calculer la solution qui maximise le surplus espéré du couple (notons bien qu’il ne s’agit que de l’une des solutions optimales), ce qui suppose de calculer trois choses : le niveau d’effort que doit fournir 1, celui que doit fournir 2, et le niveau de K₁ à partir duquel 1b est autorisé à quitter 2, niveau noté K.

Il s’agit donc de maximiser la quantité

W=2f(x₁,x₂) P(K₁ < K) + (1-K²)/2 – c(x₁+x₂)

où le deuxième terme est ce qu’obtient 1b en moyenne en partant. Sachant que K₁ est distribuée uniformément on a P(K₁ < K)=K et sous certaines conditions W est maximum pour

2 f’₁(x₁,x₂) = 2 f’₂(x₁,x₂) = c
K = 2 f(x₁,x₂)

On pourra vérifier que les deux conjoints en étaient loin, et que la solution suppose notamment que 1b reste avec 2 même quand lui aurait personnellement intérêt à partir. Mais comment parvenir à une telle solution ? Après avoir soulagé les conjoints d’émoluments bien mérités, le conseiller confesse son ignorance et leur suggère d’aller voir un avocat.

L’avocat leur apprend l’existence du mariage (on en arrive donc au sujet du billet, pour ceux qui ont suivi jusqu’ici). Homme (oui cette fois c’est un homme) pratique et réaliste, lui aussi (incroyable coïncidence !) ancien étudiant en microéconomie (spécialité théorie des contrats), il prône une vision pragmatique du mariage. Il s’agit selon lui d’infliger un coût D à celui des époux qui quitte l’autre, coût aussi bien social (perte éventuelle de réputation) que moral, émotionnel voire bassement pécuniaire (et non pécunier). Ainsi 1b ne quittera plus 2 si K₁ > f(x₁,x₂), mais si K₁ – D > f(x₁,x₂), soit si K₁ > f(x₁,x₂) + D. Cela permet à 2 d’être plus confiant(e) en 1b et d’investir davantage, tandis que 1b sait qu’il a plus de chances de rester et est lui aussi davantage incité.

Les calculs sont un peu plus longs mais on peut montrer que en présence d’un coût D les futurs époux choisiront x₁ et x₂ tels que

f’₁(x₁,x₂) (D+f(x₁,x₂)) = c
f’₂(x₁,x₂) (D+2f(x₁,x₂)) = c

Sans parvenir à l’optimum suggéré par le conseiller conjugal, la situation devrait être moins désastreuse qu’en l’absence de tout contrat, et ce pour deux raisons : d’une part 1b restera avec 2 même en ayant l’opportunité d’être plus heureux ailleurs tant que la différence n’est pas trop grande (inférieure à D). Pour atteindre l’optimum il est nécessaire cependant que D ne soit pas trop élevé (afin que 1b puisse éventuellement partir si K₁ est vraiment très grand). Ensuite sachant que 1b aura moins de chances de partir, 2 est davantage incitée à s’occuper de son petit / sa petite 1b. L’avocat, prélevant lui aussi sa dîme, conseille enfin au couple un spécialiste du mechanism design de sa connaissance, dont la spécialité est de calculer le D optimal pour les couples rencontrant ce genre de difficultés.

Epilogue : quelques semaines plus tard, 2 découvre à la fois 1b dans les bras du beau / de la belle spécialiste du mechanism design et qu’en fait il/elle a lui/elle aussi une option de sortie en la personne du beau/ de la belle réceptionniste du dit / de la dite spécialiste. Plantant là l’infidèle 1b, 2 repart avec le/la réceptionniste, répondant au doux nom de 1c, avec qui, fort(e) des leçons du passé, il/elle se marie et mène jusqu’à ce jour une vie heureuse, exempte de soucis et riche d’efforts domestiques partagés.

Remarque au passage : si les détracteurs intéressés du CDI martèlent souvent qu’un contrat de travail n’est pas un contrat de mariage, les économistes eux aiment souvent à comparer les deux. Goûtant fort les paradoxes, ils soulignent habituellement que la possibilité de divorcer (D faible) rend plus facile de se marier : si 1b sait qu’il/elle ne pourra jamais quitter 2, il/elle préfèrera peut-être rester seul(e) et attendre son option de sortie K₁ plutôt que se marier. Il en va de même pour une entreprise : si les coûts de licenciement sont très élevés, elle hésitera bien davantage à embaucher un salarié supplémentaire dont elle aura peut-être du mal à se débarrasser.

Mais nous avons développé ici un argument qui souligne un effet de sens contraire : s’il est trop facile pour l’entreprise de se débarrasser d’un salarié dans une mauvaise passe, celui-ci sera très peu incité à développer ce qu’on appelle le capital humain spécifique à l’entreprise (connaissance de l’entreprise et de ses produits, de ses clients, de ses salariés etc.). Inversement si le salarié peut partir à tout moment (fortes chances d’être débauché par exemple) l’entreprise sera peu incitée à le former. Services fournis par l’entreprise, intégration dans un groupe, clause de non-concurrence et avancement à l’ancienneté sont autant d’éléments par lesquels les entreprises peuvent essayer de contourner ce type de problème.

Les habitués de la courbe de Laffer ont déjà deviné que, dans le cas du mariage comme dans celui du contrat de travail, il existe probablement un D optimal compris (ne nous mouillons pas trop) entre moins l’infini et plus l’infini, spécifique à chaque couple, qu’il soit formé de deux individus ou d’un salarié et d’une entreprise.

Enfin, le problème est évidemment bien plus compliqué, puisqu’il faudrait par exemple introduire de l’information incomplète : en acceptant un contrat qui rend difficile de quitter son partenaire, un conjoint peut révéler qu’il est très amoureux ou une entreprise qu’elle a un fort besoin des qualifications d’un salarié, ce qui peut avoir une fonction importante. On se gardera donc bien de formuler des conclusions plus générales que l’existence probable d’au moins un niveau optimal.

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