Le théorème de lenfant gâté (Rotten Kid Theorem, Becker 1974)

Ce célèbre théorème est développé par Gary Becker dans une dizaine de lignes au milieu de l’article « A theory of social interactions » (1974) dont l’ambition est comme l’indique le titre de proposer une nouvelle explication des relations sociales. Comme souvent en micro-économie, c’est un petit théorème dérivé d’un modèle assez anodin voire enfantin mais dont les implications théoriques sont nombreuses.

Avant d’étudier ces dernières, commençons par rappeler le cadre du théorème : on considère une famille composée d’un enfant et d’un parent. L’enfant peut agir de différentes manières, ses actions A étant à la source d’un revenu pour lui ou pour ses parents. A chaque action est donc associée un couple (Ic(A) ; Ip(A)) revenu de l’enfant, revenu des parents. On suppose que l’enfant est un enfant « gâté » au sens où il est égoïste, son utilité s’écrit U(Ic+B) où B est le transfert positif ou négatif effectué par le parent (argent de poche). Après avoir observé l’action de l’enfant, le parent qui reçoit un revenu Ip(A) (qui dépend par exemple de son travail, plus efficace si l’enfant le laisse tranquille) choisit un transfert B inférieur à Ip (il ne peut pas donner à l’enfant plus que son propre revenu) et supérieur à -Ic (il ne peut pas prendre à l’enfant plus qu’il ne gagne). Le parent est quant à lui altruiste, il considère dans sa fonction d’utilité celle de l’enfant, son utilité s’écrit V(Ip-B) + kU(Ic+B) où k est strictement positif.

Le théorème de l’enfant gâté énonce alors que dans ces conditions et sous certaines hypothèses accessoires (concavité, dérivabilité…) l’enfant, alors même qu’il est égoïste, choisira l’action A entraînant le couple (Ic(A) ; Ip(A)) qui maximise Ic(A)+Ip(A), c’est-à-dire qui maximise le revenu de la famille entière.

Il n’y a pas besoin d’avoir fait des mois de théorie des jeux pour démontrer le dit théorème, considéré par Becker lui-même comme assez évident. Il suffit de raisonner par récurrence à rebours et de considérer d’abord ce que fera le parent en fonction de l’action de l’enfant. Puisque notamment le parent peut enlever à l’enfant tout son revenu on peut considérer qu’il procède en deux temps : prendre à l’enfant tout son revenu, puis distribuer la somme Ic(A)+Ip(A) de la façon qui lui semble la meilleure. Les hypothèses sur les fonctions d’utilité garantissent que plus cette somme sera élevée et plus le revenu alloué à l’enfant sera élevé, donc plus son utilité sera élevée. L’enfant a donc intérêt à choisir l’action qui maximise Ic(A)+Ip(A).

Ce théorème montre que si dans un groupe un membre centralise une part des revenus, les redistribue et « aime » les autres membres (k strictement positif), alors les autres membres même égoïstes ont intérêt à maximiser le revenu du groupe. Une certaine forme de coopération peut donc émerger entre égoïstes quand au moins une personne est altruiste et qu’elle occupe une place centrale.

Les applications peuvent être multiples ; ce théorème permet par exemple de justifier sur une base micro-économique que l’on puisse sans rompre avec les principes de l’individualisme méthodologique traiter micro-économiquement le choix d’un « ménage », les deux époux (s’ils s’aiment) poursuivant le même objectif. On peut ainsi justifier le partage des tâches au sein d’un ménage : si le mari travaille tandis que la femme fait la vaisselle c’est non pas en vertu d’un quelconque problème de répartition du pouvoir dans le couple mais simplement parce qu’elle a un « avantage comparatif » dans les tâches ménagères et qu’il est donc optimal pour le ménage qu’elle se spécialise dans celles-ci pendant que son mari travaille (cet avantage comparatif peut d’ailleurs très bien venir de la discrimination des femmes sur le marché du travail). En poussant encore plus loin on peut trouver dans ce théorème une justification micro-économique des modèles macro à agents représentatifs en remplaçant le parent par l’Etat. Tous les agents cherchent alors à maximiser le produit de l’économie, que l’Etat redistribue. On peut faire de même aussi avec les modèles à générations imbriquées. Bref on peut toujours plus ou moins remplacer une hypothèse d’agrégation par une hypothèse « microfondée » d’altruisme d’un agent (notons que cet altruisme n’a pas besoin d’être fort, mais seulement non nul).

Ce théorème rencontre nombre de critiques : possibilité que le fait même de donner procure de l’utilité au parent, que le revenu de l’enfant ne soit pas connu, qu’il y ait deux parents etc. Mais le plus grave problème de ce modèle réside plutôt dans le fait que le transfert peut être négatif et doit seulement être supérieur à -Ic ; cela veut dire que le parent ou l’Etat est en fait tout-puissant et contrôle entièrement le revenu de l’enfant, ce qui rend le théorème complètement évident : si l’enfant cherche à augmenter Ic(A) par rapport à la situation où la somme des revenus est maximisée, le parent opèrera un transfert négatif et s’appropriera ce que l’enfant aura gagné en plus, le laissant avec une utilité égale ou moindre. Plus que l’hypothèse de centralisation des revenus, c’est celle de parfaite transparence des revenus de l’enfant et de toute-puissance du parent qui restreint la portée du modèle aux cas, intéressants mais limités, de négociations entre parent tyrannique et enfant gâté, homme et dieu lui aussi tout-puissant, sujet et despote éclairé dont l’omnipotence de la police secrète se trouve microfondée. En fait, cette hypothèse impose une telle asymétrie que la coopération est obtenue en rendant le jeu « presque pas » stratégique. D’une manière générale, c’est cette vision extrêmement limitée de la coopération et des interactions sociales qui fait sans doute que seul ce théorème a été retenu, et non l’article entier de Becker qui en étendant la portée du théorème à l’ensemble des interactions sociales faisait bien apparaître le problème.

Pour finir on peut aussi juger du modèle à ses applications ; comparons par exemple l’explication qu’il donne de l’augmentation de l’offre de travail des femmes à une autre explication inspirée de Galbraith (La science économique et l’intérêt général – 1973) :

Optique beckérienne – En 1950 les femmes ont appris quand elles étaient petites filles à effectuer diverses tâches ménagères tandis que les hommes sont allés en moyenne plus longtemps à l’école. Les femmes ont donc une productivité plus forte dans la production de biens domestiques et les hommes un salaire plus élevé sur le marché du travail. Le ménage s’organise alors de manière à maximiser son revenu agrégé (en considérant que la production domestique correspond à un revenu fictif) et fort logiquement la femme reste à la maison tandis que l’homme travaille. A la fin des années 60 les femmes ont en partie comblé leur retard en termes d’éducation et les appareils ménagers permettent de consacrer moins de temps aux tâches ménagères, que même les hommes peuvent en partie réaliser. Ceci conduit les femmes à entrer sur le marché du travail pour augmenter le revenu agrégé du ménage.

Optique galbraithienne – Pour consommer des biens il faut aussi les « préparer » ou les traiter d’une manière ou d’une autre dans la sphère domestique (ce que dit aussi Becker). Sans une capacité de production domestique importante la consommation est en fait assez vite limitée, d’où la présence d’une domesticité nombreuse chez les riches à la fin du XIXe siècle. En 1950 l’idéologie dominante vante les bienfaits de la croissance et de la consommation, pour que celle-ci soit possible il est plus que jamais besoin d’une production domestique importante et on loue les mérites de la bonne ménagère apte à bien choisir les différents biens et à s’acquitter de ses tâches ménagères. Vers la fin des années 60, peut-être parce qu’elles sont plus éduquées qu’avant et que les appareils ménagers leur laissent plus de temps libre, les femmes arrivent à rejeter cette idéologie et rentrent sur le marché du travail. Evénement économique fondamental puisqu’il augmente considérablement la demande de services : des services rendant la consommation plus efficace (livraisons, ménage), des services qu’assuraient les femmes auparavant (garde et éducation des enfants), de loisirs remplaçant pour partie les biens de consommation, moins attirants qu’auparavant puisque moins bien « transformés » dans la sphère domestique. Or le secteur des services est extrêmement différent de celui des biens de consommation puisqu’il correspond au secteur de l’économie de marché (producteurs plus petits, en plus grand nombre) tandis que celui des biens de consommation correspond au « secteur planifié » contrôlé par les grands monopoles. La libération de la femme a donc peut-être été à ce titre à l’origine d’un changement complet de modèle économique.

Que conclure de cette brève analyse ? En raison de l’hypothèse de parfaite observabilité du comportement des membres du groupe et de toute-puissance du chef de celui-ci, ce modèle n’a pas vraiment d’intérêt pratique pour étudier le fonctionnement d’un ménage ou d’un groupe, à moins que celui-ci ne soit sous la coupe d’un dictateur.

Pourquoi alors ce théorème est-il aussi célèbre ? D’une part sans doute parce qu’il s’agit d’un des cas où il se révèle possible que des agents égoïstes coopèrent, ce qui est toujours une prouesse ; nous avons fait remarquer cependant qu’il s’agissait plus ou moins d’une illusion dans la mesure ou l’asymétrie de pouvoir entre les deux joueurs est telle qu’il ne s’agit plus vraiment d’un jeu stratégique. D’autre part parce que ce théorème permet de « micro-fonder » l’unité d’analyse « ménage » : cette fondation semble à vrai dire peu satisfaisante alors qu’on peut être tout à fait prêt à penser que dans un souci de simplification et dans bien des cas le ménage peut être une unité d’analyse pertinente. Mais les économistes préfèrent souvent une hypothèse micro-fondée même de manière peu pertinente à une hypothèse de travail fondée sur le seul bon sens. Tant qu’on n’en vient pas à préférer des modèles faux micro-fondés à des modèles vérifiés empiriquement mais non-microfondés (il est d’ailleurs rare qu’on ne puisse absolument pas micro-fonder un modèle ou un raisonnement), cela ne fait probablement de mal à personne, sauf que cela fait du temps de recherche qui serait sans doute mieux dépensé autrement.

Licence Creative Commons – Auteurs:Emmeline Travers-Cоlliard et Jean-Edouard Cоlliard

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