Quand Angie rencontre Phili

Les élections allemandes de dimanche dernier, en ce sens plutôt généreuses, ont fait apparaître un seul vaincu (le SPD), plusieurs vainqueurs (Die Linke, Angela Merkel, sa CDU et l’alliée bavaroise de toujours d’icelle, la CSU), et deux super-gagnants : le FDP, parti libéral jusque-là assez peu connu de ce côté du Rhin encore que fondé un an avant la RFA, et son leader actuel, Guido Westerwelle.

Le bipartisme n’a pourtant jamais été la règle en RFA : en soixante ans, la majorité absolue n’a été remportée par un parti isolé qu’à une seule occasion (en 1957, au bénéfice de la CD/SU), et les coalitions se sont donc succédé. Jusqu’à l’émergence des Grünen (nos Verts), qui franchirent pour la première fois en 1983 la barre des 5% de voix permettant de placer des candidats au Parlement par le système proportionnel, le seul parti susceptible de faire pencher la balance d’un côté ou de l’autre était donc le FDP.

Quoique idéalement situé sur l’échiquier politique, c’est-à-dire au centre, ce qui le rend le mieux placé pour capturer le fameux « électeur médian »(2), le David FDP n’avait généralement pas une grande influence sur son Goliath bien-aimé : ainsi, en 1961, les tractations pré-électorales avaient conclu à la possibilité d’une coalition FDP-CD/SU à condition que Konrad Adenauer retire sa candidature à la chancellerie, poste qu’il s’empressa de réclamer à peine les urnes vidées, et bien que la CD/SU n’ait pas la majorité absolue (et, plus étonnant, que la FDP ait eu assez de suffrages pour être en mesure de former un gouvernement avec le SPD).

L’explication la plus évidente en est que le Goliath se trouvait toujours être la CD/SU, et que les convictions libérales du FDP rendaient caduque la menace de faire défection. La loyauté étant décidément un concept bien unilatéral, la CD/SU finit même en 1966 par fonder la première Grande Coalition avec le SPD au détriment de son fidèle allié. Lequel, enfin échaudé, élut à sa tête le rationnel, centristissime et pour tout dire Modémiste Walter Scheel, dont le premier acte fut de clamer sa capacité à gouverner avec le SPD. Ce qu’il fit effectivement de 1969 à 1982 – un épisode que Westerwelle ne s’est pas privé d’évoquer durant la campagne pour rappeler à Merkel que he was not to be taken for granted et qu’il était prêt à choisir le SPD si nécessaire(3). Le plus étonnant est à notre avis que les gens l’aient cru, alors que depuis 1982 le FDP, vexé que la SPD ait pour les Verts les yeux de Chimène, n’a à aucun moment envisagé sérieusement de reparticiper à une coalition « rouge-jaune ». Les stratégies crazy type ont encore de beaux jours devant elles !

Le grand jeu des coalitions

L’étude des coalitions (ce n’est pas un hasard si ce concept est effectivement passé dans le jargon des théoriciens des jeux, avec le sens de « groupement de joueurs ») et du pouvoir de négociation de leurs différents membres est l’une des applications les plus directes de la théorie des jeux coopératifs, dont il n’a pas souvent été question sur ce blog. L’hypothèse implicite derrière les jeux non coopératifs (les traditionnelles matrices de gains dont on cherche par exemple les équilibres de Nash) est que les joueurs ne peuvent pas communiquer, ou peuvent communiquer mais ne peuvent pas s’engager à suivre une stratégie (par exemple dans le dilemme des prisonniers classique rien ne serait changé au problème si les prisonniers pouvaient se parler avant de choisir de dénoncer ou non leur complice). Dans la théorie des jeux coopératifs c’est tout le contraire : on suppose que les joueurs peuvent parler entre eux autant qu’ils le veulent et sans coûts, peuvent s’engager à jouer la stratégie de leur choix, et enfin peuvent s’engager à payer les autres joueurs s’ils jouent la stratégie sur laquelle ils se sont engagés. Ici on s’imagine donc les dirigeants de la CD/SU, du SPD et du FDP se passant des coups de fil pendant la nuit et s’engageant de manière crédible sur qui obtiendra tel portefeuille. Comme on le verra, cette approche montre bien comment la coalition qui se forme et ce qu’obtient chaque parti dépend de son apport à la coalition et de ce qu’il pourrait obtenir tout seul. On néglige en chemin tous les petits détails auxquels s’attache la théorie des jeux non coopératifs (possibilité de s’engager au prix d’un certain coût, de signaler, problèmes de coordination etc.), mais c’est aussi un avantage en ce que ses résultats ne dépendent pas de la description détaillée du jeu. On s’en rendra bien compte en comparant ce billet avec le suivant. Pour résumer, on pourrait dire que la théorie des jeux non coopérative s’attaque essentiellement à un problème d’institutions (le détail de l’interaction stratégique) tandis que la théorie des jeux coopérative s’attaque en supposant les institutions efficaces à un problème d’allocation (comment partager le surplus issu de la coopération en fonction de l’apport de chacun), ce pourquoi elle est parfois vue maintenant comme plus fondamentale que la théorie non coopérative, après de nombreuses années où à quelques exceptions près seule cette dernière était mobilisée dans les applications économiques.

CD/SU, SPD et FDP sont supposés pouvoir négocier infiniment longtemps et sans coûts. Cela implique que si deux joueurs se mettent d’accord ils mettront en œuvre la solution maximisant leur surplus commun et se le répartiront suivant une règle préétablie. Mettons par exemple que CD/SU et FDP forment un gouvernement et ne s’intéressent qu’au nombre de ministres qu’ils y mettent, ils se mettront d’accord à la fois sur la solution efficace de leur point de vue (ne mettre que des ministres CD/SU et FDP), et sur la répartition du surplus (le nombre de ministres de chaque camp). La théorie prend comme données du problème ce qu’obtient chaque coalition possible, et entend déterminer notamment deux choses : quelle(s) coalition(s) se forme(nt), et comment le gain est partagé.

Faisons donc quelques hypothèses sur le paiement des différentes coalitions et appelons les différents partis par leur couleur (CD/SU = noir, SPD = rouge, FDP = jaune). Notons S la CD/SU (pour Schwartz), R le SPD (pour Rot), G le FDP (pour Gelb). On suppose d’abord qu’un parti tout seul ne peut rien faire puisqu’il n’a pas de majorité, , on pose v(R) =v(S)=v(G)=vO – ce dernier paramètre mesure en quelque sorte les droits de l’opposition face à la majorité. Chaque coalition de deux joueurs (on agrège arbitrairement les Verts et Die Linke au SPD) peut obtenir la majorité : on note v(S,G)=vS-vO le paiement de la coalition CD/SU+FDP s’ils gouvernent ensemble sans le SPD, inversement v(R,G)=vR-vO est le paiement d’un gouvernement SPD+FDP, v(R,S)=vRS-vO celui d’un gouvernement CD/SU+SPD. Le pouvoir de chaque coalition est à chaque fois amputé des droits de la minorité. En raison des proximités idéologiques différentes de ces partis, on suppose vS > vR > vRS : le gouvernement CD/SU +FDP est le plus cohérent, suivi par le gouvernement SPD+FDP, et enfin par le gouvernement CD/SU +SPD. Il est possible que les trois partis se mettent d’accord. On s’attendrait alors à ce qu’un tel gouvernement soit moins cohérent que les trois précédents et que le paiement soit plus petit. Mais nous avons fait l’hypothèse que si les joueurs se mettent d’accord ils maximisent au moins leur surplus joint, le paiement de cette coalition maximale est donc au moins vS. Nous supposerons ici qu’il est d’exactement vS : si les trois se mettent d’accord le gouvernement formé est CD/SU +FDP et le SPD obtient des compensations en échange : v(R,G,S)=vS. Enfin nous allons faire une petite entorse à la présentation habituelle en supposant qu’un parti hors coalition (au sens théorie des jeux) a bien le paiement vO, c’est ce que nous entendons par le droit d’un parti hors coalition (au sens politique). La conséquence de cette hypothèse est qu’il faut proposer à un parti hors coalition au moins vO pour s’allier avec lui.

Le cœur

En théorie des jeux coopératifs, le concept de cœur « se définit comme l’ensemble de toutes les issues réalisables qui ne peuvent être contestées par aucune coalition » (Gaël Giraud, La théorie des jeux, 2000) : autrement dit, il s’agit de l’ensemble des situations faisables au départ et telles qu’il n’existe aucune coalition dont les membres auraient individuellement intérêt à (et la possibilité de) faire sécession et établir un jeu indépendant plutôt que de se contenter de ce qui leur est alloué dans cette situation. Typiquement, il est évident qu’une situation dans laquelle (en 2009) le SPD se verrait allouer à soi seul le gouvernement n’appartient pas au cœur, puisque dans ce cas la CD/SU et le FDP pourraient le mettre en minorité et se partager le pouvoir (ce qu’ils préfèrent par hypothèse)(4). Si tout élément du cœur est un optimum de Pareto, la réciproque n’est pas vraie (une situation dans laquelle le SPD a seul le gouvernement en est un !).

Considérons d’abord la « grande coalition » (ou grosse Koalition), formée de S, R et G. Les trois partis de partagent leurs gains tels que xR+xG+xS=vS. Ce partage doit d’abord être tel que chacun obtient plus que vO, ce qui nécessite vS > 3vO. Ensuite il faut que G et S n’aient pas intérêt à former la coalition CD/SU+FDP, qui leur rapporterait vS-vO, ce qui nécessite xG+xS > vS-vO. Du fait que xR doit être supérieur à vO on en déduit que xR=vO exactement. Enfin du FDP et de la CD/SU c’est le premier qui a le plus intérêt à changer de camp pour s’allier avec le SPD, il faut donc xR+xG > vR-vO, le paiement obtenu par cette coalition, et xR+xS > vRS-VO. Au final et en réarrangeant une telle coalition est possible si et seulement si vS+3vO > vR+vRS et vS > 3 vO.

Le raisonnement est exactement le même pour les coalitions à deux joueurs. On montre ainsi qu’une coalition CD/SU+SPD est impossible, en revanche une coalition CD/SU+FDP est possible sous les mêmes conditions que la grande coalition (le SPD obtenant le même paiement dans les deux), et enfin une coalition SPD+FDP est possible si et seulement si vR > 3vO et vR+3vO>vS+vRS, ce qui suppose notamment que vR soit supérieur à la moyenne de vS et vRS.

Le facteur le plus intéressant ici est vO : lorsque les droits de la minorité sont très élevés il est difficile de monter une coalition parce que la perspective de rester dans la minorité n’est pas très menaçante, ainsi lorsque 3vO > vS aucune coalition ne peut se former. En revanche si vR < 3vO < vS seule la coalition CD/SU+FDP peut se former, mais pas la coalition SPD+FDP. On retrouve ici l’argument classique sur l’avantage des institutions garantissant des majorités « fortes », qui seraient plus stables. Mais il est intéressant de constater que si la majorité est trop forte, elle n’est pas stable non plus : si le parti en minorité n’a rien, il est prêt à monter une coalition avec un des deux partis au pouvoir en échange de très peu, autrement dit chaque parti au pouvoir peut améliorer son paiement en trahissant. Tout cela dépend également des proximités idéologiques des différents partis, chacun ayant intérêt à se rapprocher de celui avec qui il n’est pas allié afin d’obtenir davantage de son allié.

La valeur de Shapley

Lorsque le cœur est vide ou qu’il n’est pas réduit à un point on ne sait pas exactement quelle coalition va se former ou comment seront répartis les gains. Une idée intéressante est alors d’essayer d’évaluer le pouvoir de négociation « moyen » des différents joueurs dans les différentes coalitions, c’est la fonction de la valeur de Shapley, du nom de Lloyd Shapley, grand ponte de la théorie coopérative et à qui de nombreux théoriciens des jeux souhaitent le Nobel. L’idée est que dans chaque coalition le gain d’un joueur va correspondre à son apport marginal à la coalition (le gain de la coalition avec lui moins le gain de la coalition s’il ne coopère pas), et qu’on peut prendre la moyenne de cette différence sur les différentes coalitions auxquelles le joueur participe. Une difficulté supplémentaire réside dans l’ordre dans lequel se monte la coalition (par exemple être le deuxième à rejoindre (S,G,R) a un apport strictement positif, être le troisième a un apport nul). Il faut donc tenir compte de l’ordre ce qui au final nous donne une formule assez compliquée qu’on peut admirer ici.

Calculons par exemple SR, la valeur de Shapley pour le SPD. Essayons de construire aléatoirement des coalitions. Tirons le premier membre de la coalition au hasard. Avec une probabilité 1/3 il s’agira du SPD, on a déjà formé la coalition (R) qui rapporte vO, contre 0 pour la coalition vide. Si d’autres joueurs s’ajoutent après cela ne changera rien à la contribution marginale de R, arrivé le premier. Ensuite avec une probabilité 1/3 on aurait pu tirer S, puis avec une probabilité 1/2 R, formant ainsi la coalition (R,S) avec pour apport marginal de R la quantité vRS-2vO. On aurait aussi pu tirer G, puis seulement R, avec un apport marginal de 0. On refait le même raisonnement avec G tiré en premier. Au final on a

SR=1/3 vO + 1/6(vRS-2vO)+1/6(vR-2vO)+1/3(vS-vS+vO)=1/6 vRS+1/6vR

Et de même

SS=1/3 vO + 1/6(vRS-2vO)+1/6(vS-2vO)+1/3(vS-vR+vO)=1/6vRS+1/2vS-1/3vR

SG=1/2vS+1/6vR-1/3vRS

On notera que la somme des trois fait exactement vS, le paiement de la grande coalition. Les résultats sont on ne peut plus intuitifs : le pouvoir de négociation de chaque parti dépend positivement des paiements des coalitions dont il fait partie et négativement des paiements des coalitions dont il ne fait pas partie. Cela illustre notamment que même si le FDP n’a que très peu à retirer d’une alliance avec le SPD, il a quand même intérêt à être en assez bons termes avec lui pour menacer de manière crédible la CDU/CSU de changer de bord et ainsi obtenir plus, mais elle a aussi intérêt à ce que la CDU/CSU et le SPD ne s’entendent pas pour que la menace inverse soit moins forte.

La valeur de Shapley dans ce contexte illustre bien l’intérêt qu’il y a à être « au centre », c’est-à-dire à pouvoir potentiellement s’allier des deux côtés (vR et vS forts), le résultat peut-être moins attendu est que cette position est d’autant meilleure que ces deux côtés sont fortement opposés (vRS faible). On découvre aussi sans surprise que Bayrou peut tout aussi bien essayer de se rapprocher du PS dans l’espoir d’être courtisé par l’UMP mais sans aucune intention de s’allier avec le PS, ou inversement se rapprocher de l’UMP pour être courtisé par le PS, ou encore les deux en même temps. C’est sa position dans le « champ » qui veut ça.

Des analyses de ce type ont été utilisées pour comparer le pouvoir des membres permanents du Conseil de Sécurité de l’ONU à celui des non permanents, ou le pouvoir des différents pays de l’Union Européenne dans différentes instances comme le Conseil de l’Union Européenne en fonction des règles de vote. Ici, on aurait bien envie de discuter des alliances possibles des différents partis allemands selon l’époque, ou encore de comparer la position des « centristes » de différents pays européens en fonction des droits de la minorité. On pourrait enfin réfléchir aux changements d’alliance que peuvent provoquer des changements institutionnels, par exemple est-il possible de réécrire la Constitution de manière à empêcher une alliance gauche-centre ? une alliance droite-centre ?

Mais le plus passionnant, c’est de comprendre à quel jeu joue le mystérieux Phili dont il était question dans le titre (un repère sur les Nobel gratuit est promis à qui devinera l’identité de Phili, bonne chance)…

(1) Qui, quoique légalement distinctes, forment politiquement un seul et unique parti, la CSU étant plus ou moins la branche bavaroise de la CDU, qui s’abstient systématiquement de présenter des candidats contre ceux de son parti « frère ». Les seules tensions proviennent, côté idéologie, de l’inspiration catholique plus marquée de la CSU et, côté politique, de l’absence d’inféodation réciproque des leaders des deux branches.

(2) On notera que cette théorie fonctionne mieux lorsque les électeurs sont plus rationnels et moins nombreux, i.e. lors des élections au suffrage universel indirect : Theodor Heuss, premier président du FDP, réussit en 1954 l’exploit d’être, avec 85,6% des suffrages, mieux réélu Président que Jacques Chirac !

(3) Avant de se faire très sérieusement taper sur les doigts par Merkel et d’annoncer à une semaine du scrutin (soit alors que le résultat ne faisait plus grand doute, mais après avoir eu beaucoup de temps pour son chantage) qu’il refuserait une coalition « feux tricolores » (vert, jaune, rouge).

(4) Pour un exemple bien réel d’une telle contestation d’une situation n’appartenant pas au cœur, voir la création en 1919 du premier Dáil Éireann résultant précisément de la sécession de 73 (sur 105) députés irlandais au Parlement britannique.

Licence Creative Commons – Auteurs:Emmeline Travers-Cоlliard et Jean-Edouard Cоlliard

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