Admission post-bac (2), ou quand mon petit frère se met au paradoxe d’Allais…

Admission post-bac (2), ou quand mon petit frère se met au paradoxe d’Allais…

D’abord, je tiens à présenter mes excuses les plus sincères aux élèves de Terminale angoissés que Google enverra malencontreusement sur ce billet. Vous ne trouverez rien d’utile dans les lignes qui suivent. Sachez cependant que si vous voulez faire une école de commerce, il est plus facile à l’heure actuelle d’y rentrer grâce à un bon cursus à la fac que grâce à une prépa [et que ça n’est pas forcément très juste(1)].

Ceux qui suivent savent déjà que la prunelle de mes yeux, mon seul et unique petit frère, m’avait en postulant dans des filières sélectives (essentiellement classes préparatoires aux grandes écoles) fourni le sujet d’un précédent billet. Ne bornant point là ses devoirs d’égérie, il me donne aujourd’hui l’occasion de m’étendre sur le sujet du paradoxe d’Allais (Allais, Maurice, né en 1911, Prix Lanchester et de la Banque de Suède, et à mon avis aussi fascinant qu’agaçant, ce qui n’est pas peu dire).

Allais Maurice, donc, eut en 1952 la riche idée de réunir des compères économistes de passage à Paris (Jean-Edouard et ses collègues de bureau vous confirmeront que plus on est de théoriciens, plus on rit), dont certains (Leonard J. Savage pour ne le point nommer) spécialisés en théorie de l’utilité et tenants de la règle de choix dite de Von Neumann – Morgenstern(2), et de leur soumettre ces deux fort innocentes questions :

« (1) Préférez-vous la situation A à la situation B?
Situation A : Certitude de recevoir 100 millions.
Situation B : 10 chances sur 100 de gagner 500 millions. 89 chances sur 100 de gagner 100 millions. 1 chance sur 100 de ne rien gagner.

(2) Préférez-vous la situation C à la situation D?
Situation C : 11 chances sur 100 de gagner 100 millions. 89 chances sur 100 de ne rien gagner.
Situation D : 10 chances sur 100 de gagner 500 millions. 90 chances sur 100 de ne rien gagner. »

NB : le jargon économique utilise « loterie » pour ce qu’Allais, qui ne peut rien faire comme tout le monde, appelle « situation ».

Je laisse au lecteur le soin de choisir ses réponses, puis de déterminer (éventuellement à l’aide de la note 2) ce qu’aurait dû être la réponse d’un véritable adepte de Von Neumann et Morgenstern (ci-après VNM) et que ne fut pas celle des respectables pontes présents à la petite sauterie de Maurice. Ce qui, à la limite, est admissible – mais devient gênant quand on se rend compte que leurs réponses étaient en fait incohérentes, et permit à Allais, triomphant, de poser en ces termes son célèbre paradoxe : « au voisinage de la certitude, les individus ont une préférence pour la sécurité », qui n’est finalement autre qu’une reformulation plus élégante du bon vieux proverbe « un tiens vaut mieux que deux tu l’auras ».

Plus sérieusement, Allais en conclut, d’une part que Savage avait violé un axiome qu’il avait lui-même posé (« D’apres le cinquième axiome de Savage, l’ordre de préférence de deux perspectives aléatoires ayant une partie commune n’est pas modifiée par un déplacement quelconque de leur partie commune ») : en effet, ce déplacement partie commune est ici le remplacement dans 89 cas sur 100 d’une chance de gagner 100 millions par une chance de ne rien gagner, qui transforme A en C et B en D ; dès lors, Savage aurait dû, puisqu’il avait préféré A à B, préférer C à D… ce qu’il n’a pas fait. D’autre part, qu’il n’existait pas d’indice mathématique, tel celui proposé par VNM, dont on puisse affirmer en observant les choix d’un individu qu’il cherche perpétuellement à le maximiser en espérance – en revanche, Allais reconnaît l’existence d’indices de « valeur psychologique », nettement plus difficiles à déterminer.

De nombreuses études expérimentales ont depuis confirmé la validité du paradoxe d’Allais, notamment sous l’égide des papes de l’économie comportementale Kahneman et Tversky. Tout récemment, mon frangin, donc, a involontairement participé à l’avancement de la science : il se trouvait en effet être en terminale dans un lycée dont je ne citerai certes pas le nom et qui, étant également pourvu de fort honorables classes préparatoires, aurait souhaité (comme on le comprend !) le conserver parmi ses élèves. Ledit lycée lui tint donc un langage d’où il ressortait que si mon frère s’engageait à ne s’inscrire que chez lui, il s’engagerait pour sa part à lui réserver une place dans ses classes ; mais que s’il s’avisait d’inclure dans son choix de filières supérieures des établissements rivaux, il perdrait tout son bénéfice d’insider. Précisons d’emblée que la menace était crédible(3), et que le lycée disposait d’un regard sur la liste d’inscriptions post-bac de ses élèves.

Mon frère, pour sa part, sans pour autant faire la fine bouche, ressentait le besoin, après 5 ans dans l’établissement, de changer de crèmerie, et si possible du tout au tout. Il avait donc à choisir entre deux « loteries » (dont une aux probabilités subjectives), la première lui offrant, disons, 70% de chances d’obtenir l’un des trois lycées qu’il préférait effectivement (et de beaucoup !), 20% de chances de rester dans le même établissement, et 10 chances sur 100 de finir dans un « parachute » qui le tentait moins, sans être un repoussoir ; la seconde l’amenant avec certitude à demeurer là où il était. En vrai pas sérieux de 17 ans, il s’est finalement décidé pour la première solution, mais après moult hésitation… et contre l’avis parental, par la certitude et la sécurité alléché.

[On remarque que la position de l’un et des autres n’est pas forcément « paradoxale », c’est-à-dire incohérente per se, puisqu’il n’y a pas de loterie benchmark comme dans le cas de Savage ; elle semble simplement, si on accepte la théorie VNM classique, indiquer une immense aversion au risque, et surtout illustre parfaitement la « valeur psychologique » allaisienne. Mais le titre était plus accrocheur comme ça.]

Reste à savoir si mes parents ont une plus grande aversion au risque que mon frère, des probabilités subjectives plus faibles (versions compatibles avec VNM), ou tout simplement une préférence psychologique pour la certitude plus élevée (version Allais)… Malheureusement, il ne leur reste plus d’enfants sur qui tester ces explications alternatives, et c’est bien dommage pour la science.

Pour ceux que ça intéresse, l’histoire finit bien, et son héros est brillamment bachelier depuis 2 jours.

Pour ceux que ça intéresse vraiment beaucoup, Ariel Rubinstein a proposé une explication et une extension descriptive du paradoxe d’Allais se basant sur une idée de « similarité » – concept qu’il définit rigoureusement, mais l’intuition suffira pour les paresseux – entre les prix d’une part, les probabilités de gagner chaque prix d’autre part : ainsi 89% et 90% seraient considérées comme des probabilités similaires, mais pas 90% et 1 (sinon mes parents n’auraient pas préféré la sécurité à 90% de chances d’avoir mieux ou aussi bien). Pour faire son choix entre deux loteries qui rapportent xi avec une probabilité pi et 0 sinon, un individu commence par regarder si le prix ET la probabilité de gagner sont plus grands dans une des loteries, auquel cas il la choisit sans hésiter ; sinon, si les probabilités seulement (respectivement les prix seulement) sont « similaires », il se détermine exclusivement en fonction des prix (respectivement des probabilités) ; sinon… sinon on ne sait pas, cela peut dépendre des individus.

Qu’importe, cela suffit à Rubinstein pour montrer que les relations de similarités et fonctions de préférence satisfaisant ces deux premières étapes (relativement convaincantes dans la vraie vie des vraies gens) sont en fait fort restreintes, et même que pour qu’elles satisfassent en plus la théorie de l’utilité espérée (notre bonne vieille VNM), les similarités doivent être des similarités « de type ratio » (i.e. : on dit que a et b sont similaires si leur quotient mathématique est compris entre deux nombres, l’un strictement plus petit, l’autre strictement plus grand que 1). Or le paradoxe d’Allais l’exclut… [Précisons que Rubinstein n’aime pas VNM, et a certainement jubilé en rédigeant cet article. Il m’est en revanche impossible de dire s’il aime Allais, ce qui n’est pas forcément le cas de grand-monde, mais Rubinstein ne fait pas grand-chose comme tout le monde non plus].

(1) : chers défenseurs de la fac, merci de m’éviter votre courroux en commentaires. Un, ce n’est pas le sujet de ce billet et deux, je trouve que l’université a d’immenses qualités et dispense d’excellentes formations – probablement meilleures que celles de nombre d’écoles de commerce, mais je suis à l’heure actuelle un peu aigrie pour plusieurs de mes élèves, travailleurs et loin d’être bêtes, qui ont passé un concours devenu très difficile pour se retrouver dans des écoles de commerce parfois moyennes, et voient leurs anciens et moins bons camarades de lycée, voire de prépa ayant échoué à des écoles médiocres, rentrer dans de bonnes écoles par le concours dit « parallèle »… Ce sont donc ces concours, non l’université, qui sont l’objet de mon ire. Ca me passera, et de toute façon c’est en bonne partie dû au credo actuel qui veut qu’hors prépa et « école », il n’y ait point de salut et qui ne sert qu’à engorger les prépas et priver un peu plus la fac de bons éléments.

(2) : afin d’éviter de battre le record de la phrase la plus longue du blog, j’indique en note en quoi consiste cette règle : l’individu en situation de risque – c’est-à-dire dont l’issue n’est pas encore connue, mais se trouve être probabilisable – qui doit effectuer un choix parmi plusieurs règles d’un jeu choisira celle qui lui garantit non pas l’espérance de gain la plus élevée, mais l’espérance d’utilité de gain la plus élevée. Cela semblera plus clair avec un exemple (selon la coutume, on pose que l’utilité que rapporte l’argent est croissante, mais concave, logarithmique par exemple) : si A me propose 20 avec probabilité 50% et 4 autrement, B respectivement 10 et 13, je choisirai la proposition de B qui ne me rapporte pourtant que 11,5 en moyenne, contre 12 pour A. En effet, en termes d’utilité il faut comparer 0.5* ln(20) + 0.5*ln(4) = 2.19 à 0.5*ln(10) + 0.5* ln (13) = 2.43.

(3) : en revanche la promesse du lycée de le prendre de toute façon ne l’était pas forcément, car pour le coup la famille Travers n’a aucun moyen de coercition… Nous admettrons, de façon fort plausible, que le sens de l’honneur du lycée suffisait à la garantir. Addendum à la note 3 : après consultation des différents protagonistes, la probabilité subjective accordée par mes parents au respect par le lycée de son engagement était de 1, celle accordée par mon frère de 99% « ou toute autre probabilité similaire à 1, mais pas 1 ». Ce qui peut également expliquer leur divergence d’opinion.

Licence Creative Commons – Auteur:Emmeline Travers-Cоlliard

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