Economie de l’abstention (2/2)

II. Théorie des jeux du comportement électoral

Tout cela pour dire que je suis convaincu que les comportements électoraux résultent bien davantage de facteurs sociologiques et d’adhésion à des groupes ou à des normes que de raisonnements utilitaristes bien conscients. Je laisse donc le soin aux sociologues de nous expliquer pourquoi les gens votent ou ne votent pas, et me contenterai pour ma part de n’étudier qu’un facteur probablement mineur dans la décision de voter ou s’abstenir.

Rappelons-nous en effet qu’un électeur rationnel ne devrait pas aller voter. Mais si tous les électeurs sont rationnels et ne vont pas voter, personne ne vote et donc une personne qui déciderait d’aller voter déciderait à elle toute seule du résultat de l’élection. Que personne n’aille voter ne saurait donc être un équilibre de Nash. Si les électeurs sont vraiment rationnels, ils devraient donc prendre en compte le comportement rationnel des autres électeurs dans leur décision.

Etudions le cas suivant : au cours d’un référendum, 80.001 personnes sont pour le oui et considèrent l’enjeu YO fois plus important que le coût d’aller voter, tandis que 50.000 personnes sont pour le non et considèrent l’enjeu YN fois plus important que le coût d’aller voter (YO et YN correspondent à la quantité X/C dans la discussion précédente). Restreignons-nous à la recherche d’équilibres symétriques, c’est-à-dire où tous les partisans du oui ont la même stratégie ex ante, et tous les partisans du non la même stratégie ex ante.

On remarque d’abord qu’il n’est pas possible que tous les partisans du oui votent : dans ce cas en effet ils sont sûrs de gagner avec une large majorité, il est impossible que l’élection se joue à une voix près et donc chaque électeur du oui a intérêt à changer de stratégie et à ne pas aller voter. Il n’existe donc pas d’équilibre de Nash où tous les partisans du oui votent. Il reste donc deux types possibles d’équilibre.

Premier type d’équilibre : tous les partisans du non votent, certains partisans du oui votent

Nous cherchons un équilibre symétrique en stratégies mixtes. L’idée est que chaque partisan du oui va décider non pas de voter ou de ne pas voter, mais de voter avec une certaine probabilité lO, ce qui n’est pas forcément si absurde. Si vous êtes quelque peu indifférent entre aller voter et ne pas aller voter, vous allez par exemple tenir des raisonnements du type « si à 17h je suis rentré du cinéma j’ai bien avancé dans mon travail je passerai au bureau de vote, sinon tant pis ».

Pour qu’un tel équilibre existe, il faut que si tous les partisans du oui choisissent la probabilité lO, la probabilité que l’élection se joue à une voix près multipliée par l’importance de l’enjeu soit égale au coût d’aller voter (égalité dans l’inéquation 1).

Que vaut cette probabilité en fonction de lO ? Si lO n’est ni trop grand ni trop petit on peut se servir de l’approximation d’une loi binomiale par une loi normale, le nombre de partisans du oui qui iront aux urnes suivra une loi normale de moyenne 80.000 lO et de variance 80.000 lO (1- lO). Nous cherchons donc un lO tel que la probabilité que les voix pour le oui et pour le non soient égales à 1 voix près soit de 1/YO (on considère que si il y a égalité stricte le non l’emporte), ie. que le tirage dans la loi normale considérée soit entre 50.001 et 50.000.

Prenons par exemple YO = 100.000, ie. l’enjeu de l’élection est pour un partisans du oui 100.000 fois plus important que le coût d’aller voter. Pour me rendre indifférent il faut que la probabilité qu’il y ait égalité si je ne vais pas voter soit de 1/100.000.

On peut calculer deux solutions approximatives :

– lO = 0.61925, en moyenne il y aura 49.540 votants pour le oui. Le non l’emporte presque à tous les coups (avec 9.996 chances sur 10.000 à peu près) mais il y a une chance sur 100.000 qu’il y ait égalité, ce qui incite les électeurs du oui à aller voter. Les partisans du oui s’attendent donc à ce qu’il y ait beaucoup d’abstention dans leur camp, mais vont voter au cas où elle serait moins importante que prévue et où leur vote suffirait à inverser le résultat attendu.

– lO = 0.63076, en moyenne il y aura 50.461 votants pour le oui. Le oui l’emporte presque à tous les coups (avec 9.996 chances sur 10.000) mais il y a une chance sur 100.000 qu’il y ait égalité. Cette fois-ci les partisans du oui s’attendent à gagner, mais vont voter dans l’idée qu’il y a une petite chance que l’abstention dans leur camp soit plus forte que prévue et que le oui perde s’ils s’abstiennent.

Pour chaque équilibre on doit de plus avoir YO < YN de manière à ce que les partisans du non aient effectivement intérêt à aller voter.

Résultat plutôt dérangeant, puisqu’il existe un équilibre où le oui perd presque à tous les coups alors que le nombre de partisans du oui dans la population est bien plus élevé que le nombre de partisans du non.

Deuxième type d’équilibre : abstention dans les deux camps

Ce cas ne peut se présenter que lorsque YO = YN ie. quand les partisans des deux camps accordent la même importance à l’enjeu électoral par rapport au coût d’aller voter (enfin pas exactement, il y a un problème pour modéliser ce qui se passe en cas d’égalité mais passons).

Le situation est en fait pire qu’avant puisqu’on a cette fois-ci un continuum de paires d’équilibres. Si on note lN la probabilité avec laquelle un électeur du non va voter, pour tout lO dans un certain intervalle il existe deux lN tels qu’on ait un équilibre, un lN tel que le oui ait plus de chances de gagner, un lO tel que le non ait plus de chances de gagner.

Par exemple on a un équilibre dans lequel chaque partisan du oui va voter avec une probabilité 0.012, si bien qu’il y aura en moyenne 960 votes oui, et où chaque électeur du non vote avec la probabilité 0.016, ce qui donne en moyenne 800 votes non. Le oui est presque sûr de l’emporter. Mais il y a un autre équilibre avec toujours 960 votes oui en moyenne, mais où le vote non attire en moyenne 1.150 voix, si bien que cette fois-ci le non l’emporte presque à coup sûr. Ici chaque camp anticipe que l’abstention dans l’autre camp va être massive, ce qui incite très peu à aller voter, mais chacun anticipe également que sachant cela les électeurs de son propre camp seront également peu nombreux.

De l’autre côté on trouve par exemple deux équilibres où le oui attire en moyenne 49.280 voix, et où le non attire en moyenne soit 48.750 soit 49.750 voix. Ici c’est donc exactement l’inverse : chacun s’attend à ce que le scrutin soit serré parce que les deux camps sont très mobilisés.

III. Retour sur Terre

Peut-on déduire quelque chose de cet exercice bizarre quant à ce qui se passe dans la vie réelle ?

D’abord qu’il n’est pas tout à fait sûr que les électeurs ne votent pas du tout dans l’idée qu’il n’est pas tout à fait impossible que l’élection se joue à une voix près. Dans mon entourage probablement très biaisé il m’est arrivé d’entendre des gens dire qu’ils votaient parce que s’il arrivait que le résultat se joue à quelques milliers de voix sans qu’ils soient allés voter ils s’en voudraient énormément. Evidemment sur des millions d’électeurs la probabilité qu’une élection se joue à une voix près est encore plus faible que les probabilités que nous avons calculées, mais manifestement certaines personnes croient un peu irrationnellement que si elles votent d’autres feront de même, surestiment la probabilité que leur voix soit décisive, ou pensent que si le scrutin est très serré chaque voix compte (par exemple perdre avec 1000 voix de retard est symboliquement différent de perdre avec 999 voix de retard, et peut se traduire par une moindre légitimité du gagnant).

Dans ce cas on conçoit que le choix d’aller voter ou non puisse être en partie guidé par des considérations rationnelles et dépendre du choix des autres électeurs.

Cela explique en partie un phénomène surprenant qui est que les scrutins binaires (oui/non, candidat A / candidat B) sont souvent très serrés sans nécessairement que les candidats soient aller chercher l’électeur « médian » : dans notre exemple nous avons vu que pour que les tenants de la position majoritaire aillent voter il faut nécessairement que la probabilité que le scrutin se joue à une voix soit importante, c’est-à-dire que l’issue du scrutin soit serrée.

Ensuite, lorsque l’abstention est très élevée, absolument rien ne dit que le résultat d’un vote soit une bonne évaluation des préférences des électeurs. Le résultat de l’élection est celui d’une expérience aléatoire dont les paramètres reflètent à la fois les préférences des électeurs, leur coût d’aller voter et leurs anticipations. Les études sociologiques mettent bien en évidence que le coût de participation à une élection n’est pas le même selon la classe sociale ou le lieu de résidence par exemple, deux variables qui peuvent évidemment être très corrélées avec les préférences politiques.

Enfin les élections sont des exemples typiques de jeux à équilibres multiples, et c’est probablement là que l’apport de l’analyse économique peut éventuellement être intéressant. Par exemple il n’est un secret pour personne que les habitants de communes rurales d’une part votent en moyenne plus à droite que le reste de la population, et d’autre part s’abstiennent moins. On en déduit généralement qu’il s’agit d’un avantage pour la droite, puisque les électeurs de gauche doivent être davantage mobilisés pour espérer gagner. Mais il pourrait aussi s’agir d’un avantage pour la gauche si cela amenait ses électeurs à se coordonner sur un autre équilibre : sachant qu’une partie de l’électorat de droite a un coût très faible, un électeur de gauche s’attend à ce que tous les électeurs de gauche comprennent que même avec une participation élevée il y a encore une chance non ridicule que la gauche perde de justesse.

Lorsqu’il y a multiplicité d’équilibres il est évidemment important de savoir sur quel équilibre les agents vont se coordonner, il faut alors réfléchir en termes de points focaux, de prophéties auto-réalisatrices etc. Le rôle des media dans ce jeu de coordination est potentiellement gigantesque. Ainsi s’ils annoncent qu’un camp devrait remporter largement une élection, les électeurs de l’autre camp peuvent facilement se coordonner sur un équilibre où ils vont voter avec une probabilité faible dans l’idée qu’il y a très peu de chances pour que leur camp arrive à remonter la barre et que leur voix suffise à gagner de justesse. Inversement le camp annoncé vainqueur va se coordonner sur le même équilibre, et ses électeurs iront voter avec une probabilité plus importante dans l’idée qu’avec une faible probabilité le camp adverse peut quand même remonter la barre, en quel cas une voix supplémentaire s’avèrera décisive.

Ceci rend assez pessimiste pour le Parti Socialiste (et en disant ça je contribue moi aussi à la prophétie auto-réalisatrice) : chaque défaite démobilise son électorat, qui s’attend donc à une nouvelle défaite et préfère s’abstenir ou pense voter plus utilement en soutenant d’autres partis, ce qui amène une nouvelle défaite etc. Les cadres du PS eux-mêmes contribuent à cette prophétie auto-réalisatrice en analysant les résultats comme le signe qu’il faut changer de ligne/d’idées/d’alliances/de logiciel, alors même qu’il est pour le moins illusoire de penser déceler un message clair dans le résultat d’une élection où l’abstention est massive, a fortiori une élection où ladite abstention massive est chronique.

En conclusion, on se rend compte une fois de plus qu’une élection est un jeu compliqué, qui ne permet pas d’agréger de façon satisfaisante les préférences individuelles, ce qui est de toute façon impossible comme on le sait depuis Arrow. L’intérêt d’un régime démocratique ne tient donc pas tant dans l’usage du vote (on pourrait imaginer une monarchie dont le roi serait élu à vie au suffrage direct, ce qui a d’ailleurs été le cas dans l’histoire européenne n’est-ce pas Monsieur Sarkozy ?), que dans la sauvegarde des droits de la minorité et la limitation du pouvoir des élus, comme on le sait au moins depuis Montesquieu. Curieusement il me semble qu’on entend souvent défendre la position inverse : si « les Français »* veulent ceci ou cela, il est légitime de le faire, même si cela va à l’encontre des intérêts d’une minorité. Position qui serait déjà dangereuse si l’on pouvait vraiment identifier ce que veulent une majorité de Français, mais qui devient totalement absurde lorsqu’un taux d’abstention élevé rend une telle identification totalement ridicule.

* Je suis ainsi tombé l’autre jour sur un article disant que « les Français » approuvaient totalement la politique du gouvernement, mais la voulaient « plus sensibles à la politique sociale et plus écologique ». Il s’agit bien évidemment des mêmes Français, qui ont voté à la fois UMP, Europe Ecologie et Front de Gauche, et qui sont d’ailleurs tous des clones représentatifs, comme chacun sait.

Licence Creative Commons – Auteur:Jean-Eduard Cоlliard

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